Принцип неопределенности Гейзенберга, распространяющийся на макроскопические объекты

ОБЩЕФИЗИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ КАК СЛЕДСТВИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА

(Общефизические соотношения неопределенностей, распространяющиеся на макроскопические объекты)

Рассмотрен макроскопический объект, представляющий собой стержень, снабженный парой синхронизированных часов. Для случая одномерного движения стержня (вдоль оси $X$) непосредственно из преобразований Лоренца получены общефизические соотношения – соотношение неопределенностей координаты $x$ объекта и проекции $p_x$ его импульса на ось $X$ и соотношение неопределенностей момента $t$ наблюдения объекта и его энергии $E$. Соотношения имеют вид: $\Delta p_x \Delta x ≥ H$ и $\Delta E \Delta t ≥ H$. Величина $H$ в соотношении обладает размерностью действия и зависит от точности часов стержня и его массы. Показано, что, если макроскопический объект сам по себе выполняет функцию идеальных физических часов, то полученные соотношения в предельном случае приобретают вид $\Delta p_x \Delta x ≥ h$ и $\Delta E \Delta t ≥ h$, где $h$ – постоянная Планка

Введение

Цель данной работы состояла в том, чтобы показать существование общефизических соотношений неопределенностей, распространяющихся на макротела. Цель достигнута в процессе решения задачи, состоящей в определении скорости и связанных со скоростью физических величин объектов по степени рассинхронизации движущихся часов. Непосредственно из преобразований Лоренца получены соотношения $\Delta p_x\Delta x ≥ H$ и $\Delta E \Delta t ≥ H $. Первое связывает неопределенность $\Delta p_x$, проекции $p_x$ импульса рассмотренного объекта с неопределенностью $\Delta x$, координаты $x$, а второе – неопределенность $\Delta E$, энергии $E$ объекта с неопределенностью $\Delta t$ момента $t$ наблюдения. Величина $H$ в соотношениях обладает размерностью действия и зависит от точности часов стержня и его массы.

Учитывая, что вырабатываемые метрологами рекомендации по замене термина «погрешность» термином «неопределенность» не носят обязательного характера, и, принимая во внимание дискуссионность этих рекомендаций [1-2], в настоящей работе мы используем оба термина.

Под погрешностью нами понимается неточность результатов измерения, обусловленная чисто метрологическими причинами. Погрешность можно уменьшить повышением точности измерения приборов. Примером погрешности может служить абсолютная погрешность расстояния между двумя точками.

Неопределенностью физических величин мы называем неточность результатов измерения, которую невозможно устранить путем повышения точности измерительных приборов, и которая может быть обусловлена терминологическими, понятийными, лингвистическими причинами. Примером такой неопределенности может служить неопределенность расстояния между двумя близко расположенными друг к другу шарами. Такое расстояние остается неопределенным с точностью до размеров шаров даже при идеальной точности измерения, пока остается неясным, что понимается под искомым расстоянием – расстояние между центрами масс шаров, расстояние между геометрическими центрами, расстояние между ближайшими точками шаров или что-то еще. Понимаемая таким образом неопределенность упоминается в литературе, хотя и в общих словах. Так, например, с учетом того факта, что указать место нахождения пространственно-протяженного тела заданием положения принадлежащей ему одной-единственной точки можно лишь с некоторой долей неопределенности, в [3] пишется о неопределенности положения шарика, заданного положением его центра, которая равна радиусу этого шарика.

Другим примером неопределенности подобного рода может служить неопределенность указания момента времени кратковременного процесса, который происходит не мгновенно, а занимает во времени некоторый конечный, пусть и очень малый, промежуток времени. Эту неопределенность можно считать равной половине длительности процесса, если моментом времени его прохождения назван момент, на который приходится середина процесса. Именно такие неопределенности $\Delta x$, и $\Delta t$, координаты и момента времени фигурируют в полученных нами соотношениях неопределенностей.

1. Одномоментные и однокоординатные данные. Определение скорости стержня по показаниям принадлежащих ему синхронизированных часов

Значки $A$ и $B$ условно обозначают здесь часы $A$ и часы $B$, а штриховая линия показывает тело стержня.

Если расстояние $d$ равно длине $L$ стержня, т.е., если $ L = d$, то часы $A$ и $B$ находятся на концах стержня.

Конструкцию, состоящую из данного стержня и размещенных на нем идущих часов $A$ и $B$, мы будем называть стержнем $R$, т.е. часы $A$ и $B$ будем рассматривать как неотъемлемые составные части стержня $R$, а показания часов $A$ и $B$ отнесем к характеристическим признакам стержня $R$.

Пусть стержень $R$, расположенный параллельно оси $X^0$ инерциальной системы $K^0$, покоится относительно этой системы и движется с постоянной скоростью $V'$, вдоль оси $X'$ другой системы отсчета $K'$, оставаясь параллельным оси $X'$ и направлению своего движения (оси $X^0$ и $X'$ систем $K^0$ и $K'$ скользят друг по другу в процессе их относительного движения). Такое движение стержня мы будем назвать продольным (по отношению к его ориентации в пространстве) движением, и речь в дальнейшем будет идти только о нем.

В соответствии с обратными преобразованиями Лоренца в момент времени $t'$ системы $K'$, показания $\tau_{A,t'}$ и $\tau_{B,t'}$ часов $A$ и $B$, совпадающие с показаниями часов системы $K^0$, задаются соотношениями

$${\tau{}}_{A,t'}=\frac{t'+\frac{V'}{c^2}x{'}_{A,t'}}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}} \quad\text{и}\quad {\tau{}}_{B,t'}=\frac{t'+\frac{V'}{c^2}x{'}_{B,t'}}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}$$

где $x'_{A,t'}$ и $x'_{B, t'}$ – координаты часов $A$ и $B$ стержня $R$ в системе $K'$ в момент времени $t'$, а $c$ – скорость света в вакууме.

Разность показаний часов $A$ и $B$ стержня $R$ в момент времени $t'$ системы $K'$, как следует из вышеприведенных соотношений, равна

$$ \tau_{B,t'}-\tau_{A,t'}=\frac{(x'_{B,t'}-x'_{A,t'})V'}{c^2\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}\quad\text{(1)}.$$

Введя с целью компактной записи обозначение

из формулы (1), с учетом обозначения (2) получаем:

$$U'=\frac{c^2(\tau_{B,t'}-\tau_{A,t'})}{x'_{B,t'}-x'_{A.t'}}.\quad\text{(3)} $$

Таким образом, имея данные о координатах и показаниях часов $A$ и $B$ в момент времени $t'$, можно по формуле (3) найти величину $U'$, а по ней и скорость $V'$ стержня $R$ в системе $K'$. Данные, характеризующие пространственно разнесенные элементы объекта, но относящиеся к одному и тому же моменту времени $t'$, мы будем называть одномоментными.

Помимо возможности определения скорости стержня по одномоментным данным существует и возможность определения скорости $V'$ стержня $R$ в системе $K'$ по однокоординатным данным. Однокоординатными будем называть последовательно снятые в разные моменты времени, но в одной и той же точке (с одной и той же координатой) данные, которые характеризуют элементы пространственно-протяженного объекта в моменты их нахождения в этой (или вблизи этой) точки. К таким данным принадлежат, например, последовательно снятые в моменты времени $t'_{A,x'}$ и $t'_{B,x'}$ показания $\tau_{A,x'}$ и $\tau_{B,x'}$ часов $A$ и $B$ стержня $R$ в точке системы $K'$ с координатой $x'$, мимо которой он в этой системе отсчета движется.

Однокоординатные показания $\tau_{A,x'}$ и $\tau_{B,x'}$ часов $A$ и $B$, согласно обратным преобразованиям Лоренца, связаны с моментами времени $t'_{A,x'}$ и $t'_{B,x'}$, в которые часы $A$ и $B$ оказываются в точке с координатой $x'$, соотношениями

$$\tau_{A,x'}=\frac{t'_{A,x'}+\frac{V'}{c^2}x'}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}} \quad\text{и}\quad \tau_{B,x'}=\frac{t'_{B,x'}+\frac{V'}{c^2}x'}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}. $$

Разность показаний часов $A$ и $B$ стержня $R$ в точке с координатой $x'$ системы $K'$, как следует из вышеприведенных соотношений, равна

$$ \tau_{B,x'}-\tau_{A,x'}=\frac{t'_{B,x'}-t'_{A,x'}}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}} \quad\text{(4)}$$

Вводя обозначение $\Gamma'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}$ из (4) получаем

$$ \Gamma'=\frac{\tau_{B,x'}-\tau_{A,x'}}{t'_{B,x'}-t'_{A,x'}},\quad\text{(5)}$$

откуда при необходимости можно узнать и скорость $V'$ стержня $R$.

Определение скорости по однокоординатным данным интересно тем, что не требует измерения расстояний и строится на измерении промежутков времен $\tau_{B,x'}$ – $\tau_{A,x'}$ и $t'_{B,x'} – t'_{A,x'}$.

2. Соотношение неопределенностей скорости и координаты стержня, рассчитанных по одномоментным данным

Существование абсолютной погрешности $\Delta \tau$ показаний каждых из часов $A$ и $B$ означает, что в любой момент времени $t^0$ в системе $K^0$ показание каждых их этих часов стержня $R$ может отличаться от показаний близрасположенных к ним и идущих с идеальной точностью часов системы $K^0$ на величину, не превышающую $\Delta \tau$. В этой связи вышесделанные замечания о совпадении показаний часов системы $K^0$ с показаниями часов $A$ и $B$ необходимо воспринимать с учетом конечной точности последних.

Если ход часов системы $K'$, измеренная величина $x'_{B, t'} – x'_{A,t'}$ и значение скорости света $c$ сколь угодно точны, то погрешность величины $U'$, рассчитанной по формуле (3), обусловлена лишь наличием абсолютной погрешности $\Delta (\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'})$ разности показаний $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ часов $A$ и $B$.

В этом случае погрешность $\Delta U'$, с учетом формулы (3), выражается равенством

$$\Delta\ U'=\frac{c^2\Delta(\tau_{B,t'}-\tau_{A,t'})}{x'_{B,t'}-x'_{A,t'}}\quad\text{(6)}$$

В тех случаях, когда максимальная абсолютная погрешность разности показаний часов $A$ и $B$ складывается из погрешностей $\Delta \tau$ каждых из этих часов, т.е. когда $\Delta(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}) = 2\Delta \tau$, из (6), следует:

Заметим, что погрешность $\Delta \tau$ не зависит от выбора системы отсчета, так как представляет собой предельно возможную разность между показаниями каждых из часов $A$ и $B$ и показаниями близкорасположенных к ним часов системы $K^0$, где покоится стержень $R$. Понятно, что эта разность не зависит от того, в какой из систем отсчета она считывается.

Представим себе теперь, что наряду с условием одномоментности показаний часов $A$ и $B$ в системе $K'$ выполняется требование однокоординатности указания места, где находится стержень $R$ в момент $t'$. Пусть суть этого требования состоит в использовании для указания места нахождения на оси $X'$ проекции стержня $R$, одной-единственной координаты $x'_R$. Это требование может быть выполнено, если длиной стержня пренебречь и рассматривать его как точку. Но если из-за необходимости учета свойства пространственной протяженности стержня пренебрегать его длиной нельзя, то требование однокоординатности указания положения стержня $R$ можно выполнить, лишь частично. Например, можно указать в качестве координаты $x'_R$ стержня $R$ координату любой принадлежащей ему точки и сопроводить указание этой координаты ссылкой на ее неопределенность. Координатой такой точки, в частности, могут служить координата геометрического центра стержня $R$ или координата его центра масс. В качестве неопределенности $\Delta x'_R$ координаты $x'_R$ в этом случае можно рассматривать расстояние от точки с координатой $x'_R$ до наиболее удаленной от нее точки проекции стержня на ось $X'$.

При таком указании положения стержня $R$ координата $x'_R$ указывает нахождение одной из множества точек проекции стержня $R$, лежащих на оси $X'$. Если данной точке мы из каких-то соображений отдали предпочтение, то неопределенность $\Delta x'_R$ задает область координат точек, которые при других соображениях также могли бы считаться точечными координатами стержня $R$.

Если, например, в качестве координаты участка $ab$ стержня $R$, параллельного оси $X'$, выбирается координата $x'_{ab}$ геометрического центра (средней точки) этого участка, то неопределенностью $Δx'_{ab}$ координаты $x'_{ab}$ участка $ab$ стержня по определению можно считать величину, равную половине длины участка движущегося (в системе $K'$) стержня.

Так как в системе $K'$ длина $d'=d\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}$ движущегося участка $ab$ стержня равна $x'_{B,t'} – x'_{A,t'}$ , то неопределенность $\Delta x'_{ab}$ координаты $x'_{ab}$ участка $ab$ стержня $R$ равна $½(x'_{B,t'} – x'_{A,t'})$. Тогда формулу (7) можно представить в виде

В рамках данного нами во введении определения неопределенности величина $\Delta x'_{ab}$ является именно неопределенностью, а не погрешностью, поскольку зависит от длины участка $ab$ стержня, и не может быть уменьшена за счет увеличения точности измерения.

Так как в общем случае $L ≥ d$, то неопределенность $\Delta x'$ координаты $x'$ стержня $R$ с произвольным расположением часов $A$ и $B$ на нем $(\Delta x' = ½L')$ в этом общем случае может быть как равной, так и превышающей величину $\Delta x'_{ab}$. А поскольку справедливо соотношение $\Delta x' ≥ \Delta x'_{ab}$, то формула (8) в общем случае произвольного расположения часов на стержне приобретает вид:

Соотношение (9) относится к общему случаю произвольного расположения часов на стержне и переходит в равенство $\Delta U' \Delta x' = c^2\Delta\tau$ в частном и наиболее благоприятном (для определения величины $U'$ по одномоментным данным) случае расположения часов на концах стержня $(\Delta x'= \Delta x'_{ab})$.

Произведение погрешности $\Delta U'$ величины $U'$ и неопределенности $\Delta x'$ координаты $x'$ стержня $R$ при мгновенном наблюдении зависит только от погрешности показаний часов $A$ и $B$ стержня $R$. Поэтому соотношение (9) остается неизменным в любой инерциальной системе отсчета и может быть записано для произвольной системы в виде:

В случае, если масса стержня $R$ с часами $A$ и $B$ заведомо известна и равна $M_R$ (здесь и в дальнейшем используется понятие лоренцинвариантной массы [4]), соотношение (10), умножая его левую и правую части на $M_R$, можно преобразовать в соотношение $M_R\Delta U_x\Delta x ≥ M_R c^2\Delta\tau$, откуда, учитывая, что $M_R U_x = p_x$, получаем:

Погрешность $\Delta \tau$ часов $A$ и $B$ стержня $R$ является одним из внутренних параметров стержня $R$ и не входит в параметры измерительных средств, внешних по отношению к стержню $R$. Поэтому о погрешностях $\Delta U_x$ и $\Delta p_x$ в соотношениях (10) и (13) можно условно говорить как о внешних (по отношению к стержню $R$) неопределенностях. Внешние неопределенности $\Delta U_x$ и $\Delta p_x$ задаются внутренними свойствами самого стержня $R$ (особенностью принадлежащих ему часов $A$ и $B$) и при заданной неопределенности $\Delta x$, не могут быть устранены за счет повышения точности измерительных приборов, расположенных вне стержня $R$.

3. Соотношение неопределенностей энергии стержня и времени, рассчитанных по однокоординатным данным

или с учетом того, что $\Delta(\tau_{B,x'} – \tau_{A,x'}) = 2\Delta\tau$,

Предположим теперь, что кроме условия однокоординатности показаний часов наблюдения выдвинуто требование одномоментности указания времени наблюдения участка $ab$ стержня $R$, движущегося мимо точки $x'$. Пусть это требование состоит в использовании одного-единственного момента $t'_{ab,x'}$ для указания времени наблюдения участка $ab$ в точке $x'$.

Так как наблюдение в точке с координатой $x'$ проводится в течение промежутка времени $t'_{B,x'} – t'_{A,x'}$, то указать момент наблюдения можно лишь приближенно, указав, например, момент времени $t'_{ab,x'}$, середины промежутка $t'_{B,x'} – t'_{A,x'}$, времени, пошедшего на наблюдение. При этом можно указать неопределенность $\Delta t'_{ab,x'}$ момента времени наблюдения, равную половине длительности $t'_{B,x'} – t'_{A,x'}$ наблюдения, т.е., принять $\Delta t'_{ab,x'} = ½(t'_{B,x'} – t'_{A,x'})$.. Тогда формулу (14) можно представить в виде:

Для произвольного расположения часов на стержне длительность $\Delta t'_{x'}$ наблюдения за всем стержнем $R$ длиной $L$ оказывается больше длительности $\Delta t'_{ab,x'}$ наблюдения за участком стержня $ab$, т.е. выполняется условие $\Delta t'_{x'} ≥ \Delta t'_{ab,x'}$, в связи с чем из (15) следует

Произведение неопределенности $\Delta t'_{x'}$ момента $t'_ {x'}$ времени наблюдения стержня $R$ и погрешности $\Delta\Gamma'$ величины $\Gamma'$ при точечном наблюдении зависит только от погрешности $\Delta \tau$ показаний часов $A$ и $B$ стержня $R$. Поэтому соотношение (16) остается неизменным в любой инерциальной системе отсчета и может быть записано для произвольной системы в виде:

Умножая левую и правую части соотношения (17) на $M_Rc^2$, принимая во внимание, что $\Delta\Gamma M_Rc^2 = \Delta\ E$, и используя обозначение (12), получаем

Если погрешность $\Delta\tau$ считать параметром стержня, не входящим в состав параметров измерительной аппаратуры, то о величинах $\Delta\Gamma$ и $\Delta\ E$ можно говорить как о неопределенностях.

4. Физические часы. Соотношение неопределенностей импульса и координаты пространственно-протяженного тела

В этом случае максимальная погрешность разницы показаний часов $A$ и $B$ равна не сумме двух погрешностей $\Delta \tau$, а одной погрешности $\Delta \tau$. Тогда выведенные из условия равенства погрешности разницы часов $A$ и $B$ двум погрешностям $\Delta \tau$ соотношения (13) и (18) приобретают вид:

Представим себе, что каждые из часов $A$ и $B$ состоят из двух составных частей, одна из которых, будучи искусственной («рукотворной»), выполняет функцию индикатора и дает дискретные показания времени, меняя их в такт с внешними сигналами, другая – мы будем называть ее физическими часами – естественным, природным образом вырабатывает такие сигналы и управляет сменой показаний индикатора.

Ради наглядности представим себе в качестве второй части физических часов кусок радиоактивного материала с большим периодом полураспада (мощность излучения материала можно считать постоянной в течение достаточно длительного времени).

Если индикатор реагирует на определенную порцию $ε$ поглощенной энергии гамма-излучения материала физических часов сменой показаний, то при мощности излучения материала, равной $P$, частота $\nu$ смены показаний индикатора будет равна $P/ε$.

Порцию $ε$ поглощенной энергии, которая приводит к смене показаний индикатора, назовем энергией воспринимаемых (индикатором) сигналов физических часов.

Будем считать, что независимо от количества материала физических часов вся излучаемая энергия поглощается индикатором, а каждая порция $ε$ поглощенной энергии выполняет функцию воспринимаемого индикатором сигнала смены показаний. Тогда частота $\nu$ воспринимаемых индикатором сигналов материала физических часов и соответственно частота смены показаний физических часов будет пропорциональна количеству материала физических часов. Это значит, что если при единичной массе $m_0$ материала физических часов частота воспринимаемых сигналов равна $\nu_0$, то при массе $M_0$ она равна $M_0 \nu_0/m_0$, т.е.

Поскольку максимальная абсолютная погрешность $\Delta \tau$ показаний каждых из часов равна $1/\nu$, то из равенства (21) можно получить:

Cчитая массу стержня без часов пренебрежимо малой по сравнению с массой материала физических часов, сосредоточенного в часах $A$ и $B$, или, полагая, что стержень $R$ полностью состоит из материала физических часов, величину $2M_0$ (так как масса материала в обоих часах равна $2M_0$) можно приравнять массе $M_R$ стержня $R$ с часами $A$ и $B$. С учетом этого из (12) и (22) следует

Величина $H$ зависит от типа физических часов и чувствительности индикатора и физической постоянной не является. Величина $H$ становится иной при изменении чувствительности индикатора или при замене радиоактивного материала физических часов на радиоактивный материал с иной мощностью излучения.

Применительно к физическим часам соотношения (19), (20) относятся к случаю произвольного распределения материала физических часов вдоль стержня и переходят в равенства в частном случае, когда материал физических часов сосредоточен на концах стержня $R$.

На первый взгляд, полученные соотношения справедливы только для методов мгновенного и точечного наблюдений за объектом, а неопределенности, входящие в эти соотношения, являются неопределенностями, присущими только данным методам. В действительности же измерить даже заведомо постоянную скорость данного стержня $R$, снабженного часами $A$ и $B$, с неограниченной точностью невозможно и обычными способами (по пройденному пути и времени), если под словосочетанием «стержень $R$ с часами $A$ и $B$ » понимать конкретный объект, в число характеристических признаков которого входит разность показаний часов $A$ и $B$ (или события, характеризующие данный объект). В таких случаях скорость и производные от нее величины (импульс, энергия) оказываются привязанными не к сторонней системе отсчета, а к характеристическим признакам, данного объекта, например, к временн'ым или событийным меткам [5].

Чтобы понять суть последнего замечания, обратимся к понятиям относительности и неопределенности.

В [5] показано, что многие вопросы, появившиеся в трясине физического релятивизма, снимаются, если обратить внимание на присутствие неопределенности в физической относительности. Вместо того чтобы говорить об относительности скорости тела и о том, что скорость тела без указания системы отсчета не имеет физического смысла, в [5] предлагается использовать по отношению к безотносительной скорости тела термин «неопределенная скорость». В этом случае о скорости тела, не привязанной к определенной системе отсчета, следует говорить как о неопределенной скорости. Неопределенность безотносительной скорости тела равна постоянной $c$. О такой безотносительной скорости данного тела можно, например, сказать, что она равна нулю, а ее неопределенность равна $c$. Такое указание скорости качественно ничем не отличается от обычного указания значения скорости, дополненного указанием ее погрешности.

Обратим внимание на два способа, которые позволяют избавиться от неопределенности скорости тела и придать ей определенность.

Первый, общепринятый способ состоит в указании системы отсчета, в которой рассматривается скорость тела. После указания системы отсчета скорость данного тела становится определенной.

Второй способ, несмотря на его очевидность, практически не упоминается в физике. Этот способ состоит в конкретизации объекта, заключающейся в более детальном его описании и при определенных условиях способной заменить выбор системы отсчета.

В рассмотренном нами примере объектом, по отношению к которому выполняются соотношения (19) (20), является не стержень $R$, снабженный часами $A$ и $B$, а стержень $R$, снабженный часами $A$ и $B$ и обладающий заданной разностью $\tau_B – \tau_A$ показаний $\tau_A$ и $\tau_B$ часов $A$ и $B$.

Если один и тот же стержень $R$, снабженный часами $A$ и $B$, по определению рассматривать как множество более конкретных подобъектов, каждый из которых обладает присущей ему разностью $\tau_B – \tau_A$ показаний часов $A$ и $B$, то эти разные объекты обладают разными скоростями. Возможность такого разделения объекта на более конкретные подобъекты ускользает от релятивистов, поскольку ставит крест на объективном характере физического релятивизма. Релятивисты не способны понять того, что было понятно еще Гераклиту, видевшему разницу между одной и той же рекой и частными отличающимися друг от друга конкретными «подобъектами» данной реки, отличающимися друг от друга. Вместе с тем сами релятивисты отмечают, что один и тот же объект в разных системах отсчета в силу относительности одновременности отличается сам от себя, т.е. распадается на своего рода подобъекты. Странно, что им не понятен тот факт, что, описав подобъект, часто можно по «внешнему виду» определить его скорость без указания системы отсчета.

Например, в рассмотренном нами случае такой подобъект, как стержень $R$, обладающий определенной разностью $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ показаний $\tau_{A,t'}$ и $\tau_{B,t'}$ часов $A$ и $B$, движется с определенной продольной скоростью $V_x$. При идеальной точности хода часов значение скорости $V_x$ функционально зависит от значения разности $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$. Такой подобъект, как стержень $R$, обладающий разностью $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ показаний $\tau_{A,t'}$ и $\tau_{B,t'}$ часов $A$ и $B$, равной нулю, покоится. Его продольная скорость $V_x$ равна нулю и ни в какой системе отсчета не может быть отличной от нуля, поскольку ни в какой системе отсчета, где данный стержень продольно движется, подобъекта с разностью $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ показаний часов $A$ и $B$, равной нулю, не существует. Данный стержень $R$ с часами $A$ и $B$ обладает в разных системах отсчета разными продольными скоростями, но данный стержень $R$, обладающий разностью $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ показаний часов $A$ и $B$, равной нулю, как конкретный подобъект обладает только продольной скоростью, равной нулю. Этот факт совершенно не зависит от того, каким образом измерять скорость – по показаниям часов или по пройденному пути и расстоянию.

Вместе с тем, если часы $A$ и $B$ дают дискретные показания, то и разница $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ обладает некоторой дискретностью. При этом значение продольной скорости $V_x$ обладает неопределенностью $\Delta V_x$. В этом случае стержень $R$ с данной разностью показаний часов $A$ и $B$ как подобъект может быть обнаружен в некотором множестве систем отсчета в состоянии движения с разными продольными скоростями, отличающимися друг от друга на величину, не превышающую некоторого значения, которое является неопределенностью $\Delta V_x$. Эта неопределенность в точности равна неопределенности, имеющей место при одномоментном определении скорости $V_x$ данного подобъекта.

Если часы $A$ и $B$ не идут, а стоят, непрерывно показывая одинаковое время, то неопределенность $\Delta V_x$ продольной скорости стержня $R$, обладающего разностью $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ показаний часов $A$ и $B$, равной нулю, равна скорости света $c$. Такой стержень $R$, обладающий разностью $\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}$ показаний часов $A$ и $B$, равной нулю, может быть обнаружен во всех системах отсчета и обладать любой скоростью в диапазоне от нуля до скорости света $c$.

Заключение

Цель настоящей работы состояла не в поисках точек соприкосновения между лоренцевской физикой и квантовой механикой, а в том, чтобы показать наличие общефизических соотношений неопределенностей в физике макромира. Полученные общефизические соотношения внешне напоминают известные соотношения неопределенностей квантовой механики, однако, физический смысл величин, входящих в соотношения, и содержание самих соотношений иные, нежели в квантовой механике. В соотношении (13) под неопределенностью $\Delta x$ понимается неопределенность указания положения проекции длиной $\Delta x$ пространственно протяженного объекта с помощью одной единственно координаты $x$, а в соотношении Гейзенберга $\Delta x$ – это вероятностная характеристика положения микрочастицы, описываемая среднеквадратичным отклонением от среднего значения

Величина $\Delta p_x$ в соотношении (13) – это погрешность импульса $p_x$, которая при заданной неопределенности $\Delta x$, вообще говоря, может быть уменьшена путем использования физических часов другого типа, а $\Delta p_x$ в соотношении Гейзенберга – это неопределенность, которую при заданном значении $\Delta x$ уменьшить принципиально невозможно.

Разный смысл вкладывается и в величины $H$ и $h$.

Величина $H$ в соотношениях (13), (18), (19) и (20) зависит от чувствительности индикатора и типа физических часов. При изменении чувствительности индикатора или замене радиоактивного материала физических часов на радиоактивный материал с иной массовой частотой излучения величина $H$ становится иной. Фундаментальная же постоянная $h$ Планка не связана с физическими свойствами какого-либо конкретного материала. Тем более странным представляется тот факт, что эти соотношения оказываются связанными с соотношением Гейзенберга, причем не только внешне, но и внутренне.

Во-первых, возникает вопрос о минимальном значении $H_{min}$ величины $H$ с размерностью действия. Можно ли допустить, что в макромире величина может быть сколь угодно малой и отвечать, например, условию $H_{min} << h$ ?

А во-вторых, соотношения (19), (20) формально преобразуются в соотношения

$$\Delta\ p_x\Delta\ x\geq\ h/2 \quad\text{;}\quad \Delta\ E\Delta\ t_x\geq\ h/2\quad\text{(24)}$$ простой подстановкой в формулу (23) энергии $h_{\nu_0}$ фотона частотой $\nu_0$ на место единичной энергии $m_0c^2$ физических часов, т.е. принятием в качестве физических часов единичной массы фотона, частота $\nu_0$ которого численно равна частоте $\nu_0$ сигналов гипотетической смены показаний часов. Вернее, если исходить из понятия лоренц-инвариантной массы и из равенства массы фотона нулю, то в качестве физических часов единичной массы $m_0$ следует рассматривать пару встречных фотонов с равными энергиями $E = h\nu$ и с результирующим импульсом $P$, равным нулю. Так как единичная масса $m_0$ таких часов равна $\sqrt{(\frac{2E}{c^2})^2-(\frac{P}{c})^2}=2E/c^2 $, а суммарная частота $\nu_0$ электромагнитных колебаний равна $2\nu$, то, считая, что частота $\nu_0$ физических часов единичной массы равна суммарной частоте $2\nu$ пары фотонов, из формулы (23) следует $H = H_{min} = h$.

Если, рассматривая (23), предположить, что существует некоторая величина $H_{min}$, общая для всех типов физических часов, то $2m_0c^2/\nu_0 = H_{min}$. Последнее равенство имеет место только тогда, когда $m_0c^2 = ½ H_{min}\nu_0$. Если за $m_0c^2$ принять наименьшую энергию гипотетического сигнала смены показаний часов, то $H_{min}$ должна быть равной постоянной Планка $h$, поскольку величина $½h\nu_0$ является минимально возможной энергией нулевых колебаний осциллятора частотой $\nu_0$.

Соотношения (24), если к ним перейти от соотношений (19) (20), не отражают статистического характера генерации сигналов смены показаний часов, поэтому при данном переходе можно говорить только о порядке величины, стоящей в правой части соотношений, а не о ее точном значении.

Л И Т Е Р А Т У Р А

2. Руководство ЕВРАХИМ/СИТАК "Количественное описание неопределенности в аналитических измерениях" (2-е издание, 2000) - пер. с англ. – С.-Петербург: ВНИИМ им. Д.И. Менделеева, 2002.

3. Суханов А.Д., Голубева О.Н. Лекции по квантовой физике. М.: Высшая школа, 2006. С. 54.

5. Матвеев В.Н. В третье тысячелетие без физической относительности. М.: ЧеРо, 2000.